Proporción Cordobesa

Proporción Cordobesa

En unas pruebas realizadas en 1951 en la Diputación de Córdoba, se realizó un test a estudiantes de arquitectura en que se pedía que dibujaran el rectángulo ideal, dando a priori una mayor puntuación a quien racional o instintivamente dibujara el áureo. Se detectó que la mayoría había trazado uno, menos esbelto que el armónico, con la proporción aproximada de 1,3. El hecho era suficientemente significativo para ser investigado. La repetición del test con personas nacidas o residentes en Córdoba conducía reiteradamente a esa proporción. La frecuencia de la proporción 1,3 desbordó la debida al cálculo de probabilidades.

Bien podía suceder que si bien el hombre ideal de Da Vinci debería ser de proporciones divinas, el hombre cordobés es según sus propias características, humano. Se observa esta proporción, la de 1,3, como una constante en la arquitectura cordobesa.

Históricamente, la proporción áurea ha sido considerada la más perfecta, la divina, mientras que la cordobesa ha pasado por ser la más parecida a la humana.




Mientras que la proporción áurea es la existente entre el lado y el radio del decágono, la cuadrada es la misma relación referida al hexágono y que la raíz de dos es la resultante del cuadrado, la proporción cordobesa es la relación entre el radio de un octógono regular y su lado:






La Geometría de los Polígonos Cordobeses


1. Introducción
La proporción más conocida en el octógono regular es el Número de Plata q = D:L =1+ 2
(ver [24], [11], [16]). Esta proporción dinámica aparece cuando en un octógono regular de lado
L, dibujamos la diagonal D, como en la Figura 1, y calculamos la razón D : L. Numerosos
ejemplos de este número, en relación con la geometría del octógono, pueden encontrarse en [5].
El Número de Plata es la solución positiva de la ecuación cuadrática x2-2x-1=0. Este número
irracional es uno de los Números Metálicos ([24], [16], [13],[14]).


Figura 1: Número de Plata en el octógono               Figura 2: Proporción Cordobesa en el octógono

La segunda proporción importante en el octógono regular es la Proporción Cordobesa. Esta
proporción fue introducida, en 1973, por el arquitecto español Rafael de la Hoz Arderius,
([8],[9],[10]), como resultado de sus investigaciones acerca de las proporciones presentes en la
arquitectura de la ciudad de Córdoba, España. Desde esa fecha, la proporción Cordobesa ha sido
considerada en el análisis de trabajos de Arte y Arquitectura.
El principal objetivo de este trabajo es encontrar esta proporción en diferentes formas que no
han sido estudiadas anteriormente. En efecto, hemos descubierto una gran cantidad de nuevos
polígonos donde la proporción Cordobesa esta presente, y muchas formas, a partir de las cuales
podemos generar hermosas teselas, estrellas, rosetones, etc. Sorprendentemente, la presencia de
esta proporción, como veremos, es muy frecuente.
La proporción Cordobesa está estrechamente vinculada al ángulo de 45º. En efecto, si
calculamos la razón entre el radio R de la circunferencia circunscrita al octógono y su lado L,
aplicando el Teorema del coseno en el triangulo de lados R, R y L, señalado en la Figura 2,
obtenemos que R/L=1.30656296



La razón R/L se conoce como proporción Cordobesa y el valor c como el número Cordobés.
Este número es una de las soluciones de la ecuación polinómica de cuarto grado 2x4-4x2+1=0.
El número de Plata q y el número Cordobés c se relacionan a través de la fórmula c2= (1+q)/2,
que es equivalente a la expresión q = 2 c 2 .
La interpretación geométrica de esta relación algebraica queda patente en la propiedad 1, donde
se muestra la disección canónica de un rectángulo de proporción q, es decir, un rectángulo de
Plata. Como es bien sabido, dado un rectángulo T cuyos lados tienen longitudes a y b, se define
su proporción p(T), como el cociente p(T) = max(a,b) min (a,b).

2. Polígonos Cordobeses
2.1 Triángulos notables en el octógono regular
La proporción cordobesa puede ser codificada mediante el ángulo de 45º y se modeliza de
forma natural gracias a un notable triangulo isósceles.
Definición 1: Llamaremos “triángulo Cordobés” al triángulo que es semejante al de lados R,
R y L, mostrado en la Figura 2.
Por tanto, un triángulo isósceles es un “triángulo Cordobés” si sus ángulos son de p/4, 3p/8 y
3p/8 radianes (45º, 135º/2 y 135º/2). Las Figuras 2 y 3 muestran su localización en el octógono
regular.
Figura 3: Triángulos Cordobeses

Propiedad 1. El rectángulo de Plata se puede dividir en cuatro triángulos isósceles, como se
muestra en la Figura 4. Dos de ellos son triángulos Cordobeses y los otros dos tienen ángulos
3p/4, p/8 y p/8.



Figura 4: División Cordobesa de un rectángulo de Plata.

En efecto, observando la Figura 4, deducimos que DB2 = b 2 +b 2q 2 = b 2 (2 + 2q ) = 4b 2c2 

El “gnomon” es la figura que yuxtapuesta a una figura dada, origina otra que es semejante a la
inicial. Este concepto es uno de los más relevantes en la clásica teoría de la proporción
geométrica. A continuación, mostraremos el gnomon del triángulo Cordobés y algunas
propiedades relacionadas con él. Para abreviar, al triángulo Cordobés de lados c, c y 1, lo
llamaremos “unitario”.
Propiedad 2. El gnomon de un triángulo Cordobés unitario es el triángulo de lados c, c2 y
2 2 . Este triángulo escaleno tiene ángulos p/8, 2p/8 y 5p/8. (Ver Figura 5).
Figura 5: Triangulo Cordobés (naranja) y su gnomon (amarillo).

Partiendo de un triángulo Cordobés unitario PQR, y yuxtaponiendo el triángulo escaleno de
ángulos p/8, 2p/8 y 5p/8, el resultado es el triángulo isósceles SPR (ver Figura 5). Se verifica,
SR=SQ+QR=(Ö2/2)+1=(2+Ö2)/2=c2, por tanto, el triángulo SPR es también Cordobés.
De hecho, si observamos el octógono en esa misma Figura, podemos ver que si dibujamos un
segmento desde el vértice izquierdo del triángulo de mayor tamaño, pasando por su centro, el
triángulo Cordobés inicial, cuyos lados eran D, D y d, queda dividido en dos triángulos. Uno de
ellos (naranja) tiene también un ángulo de 45º. Por tanto el otro (amarillo), tiene ángulos p/8,
2p/8 y 5p/8. Así pues, el triángulo naranja tiene ángulos p/4, 3p/8 y 3p/8, y también es un
triángulo Cordobés. Obviamente el triangulo escaleno amarillo es el gnomon del triángulo
Cordobés.

Nota 1. En la Figura 6 vemos un triángulo Cordobés inscrito en su octógono regular. Cuando
unimos los tres vértices del triángulo con el centro del octógono, dicho triángulo queda dividido
en otros tres triángulos. Uno de ellos es un triángulo rectángulo (el ángulo inscrito es la mitad
del arco que abarca). Los otros dos triángulos son congruentes y semejantes al triángulo
determinado por la diagonal menor, d, y dos lados consecutivos del octógono. Los tres
triángulos en amarillo tienen ángulos 3p/4, p/8 y p/8. Observemos que son semejantes al
triángulo en color blanco que se obtenía en la disección canónica del rectángulo de Plata,
(Figura 4). La Figura 7 ilustra este hecho. Finalmente, este triángulo isósceles posee la curiosa
propiedad de ser el gnomon de l gnomon del triángulo Cordobés, (ver Figura 8).
Figura 6: Triángulos 3p/4,p/8 y p/8 Figura 7: Rectángulo de Plata Figura 8: Gnomones

En la Figura 9 vemos un rectángulo de proporción 2 dividido en un cuadrado de lado 1 y un
rectángulo PQRS de lados RQ = 1 y PQ = 2 -1. En consecuencia, la proporción de este
rectángulo es RQ / PQ =q y su diagonal mide d = 2 × 2 - 2 . De ello se deduce que el
valor del cociente D/d es el número Cordobés.
Figura 9: Triángulo Cordobés en un DIN A4


Figura 10: DIN A4 en el octógono regular


La mencionada figura muestra también la fácil construcción de un triángulo Cordobés a partir
de una hoja de papel con formato DIN A, por ejemplo un DIN A4. Es bién sabido que estos
formatos tienen proporción Ö2. El procedimiento es el siguiente:
1. Tomar una hoja de papel DIN A4.
2. Formar un cuadrado de lado igual al menor de los lados de la hoja y dividirlo en dos
partes iguales doblándolo por su diagonal.
3. Doblar el papel por una línea que una el punto P con el vértice opuesto R.
En el octógono regular de la Figura 10, puede verse el mismo rectángulo DIN A4 (granate)
sobre el rectángulo de Plata ABCD. La semejanza de los triángulos rojo y verde es evidente.

2.2 Cuadriláteros
En esta sección iniciamos la búsqueda de la proporción Cordobesa en polígonos con más de tres
lados. Obviamente el primer polígono considerado es el rectángulo.
La siguiente definición extiende las nociones del conocido rectángulo de Oro y del
anteriormente mencionado, rectángulo de Plata.
Definición 2. Llamamos “rectángulo Cordobés” a un rectángulo de proporción c.
Por ejemplo, el rectángulo rojo de lados R y L de la Figura 11:

Figura 11: Rectángulo Cordobés en un octógono regular

El arquitecto Rafael de la Hoz Arderius encontró este rectángulo en la planta y en el alzado de la
Mezquita de Córdoba (España), [1]. La Figura 12 reproduce un dibujo origina l de este
arquitecto de la planta de la Mezquita, [18]. La Figura 13 muestra un dibujo donde se distinguen
coloreados tres rectángulos Cordobeses encontrados por de la Hoz.

Figura 12: Planta de la Mezquita (Córdoba)

Figura 13: Rectángulos Cordobeses

Es importante señalar que hasta el momento el rectángulo Cordobés es el único polígono
Cordobés considerado en las referencias consultadas, ([9], [1], [3], [4]).

Volviendo a la Figura 9, donde se construía un triángulo Cordobés a partir de una hoja DIN A4,
podemos observar que los dos triángulos sobrantes pueden reagruparse para formar otro
triángulo Cordobés, en la forma que muestra la Figura 14.

Figura 14: Dos triángulos Cordobeses a partir de una hoja DIN A

Si unimos ambos triángulos por su lado mayor se forma un paralelogramo con ángulos 3p/8 y
5p/8, y si los unimos por su lado menor, se obtiene el paralelogramo considerado en la siguiente
definición (Figura 15).

Figura 15: Rombo de 45º y 135º a partir del DIN A

Definición 3. Llamamos “diamante Cordobés” a un rombo cuyos ángulos son 45 y 135 grados.
Es evidente que el área del diamante Cordobés obtenido a partir de una hoja de papel DIN A4 es
igual al área de esta hoja, y obviamente, el área de uno de los triángulos Cordobeses construidos
es su mitad.

Este diamante también aparece por intersecacción de dos octógonos regulares. De hecho, cuatro
octógonos que se intersequen como en la Figura 16 (izquierda) originan una estrella en su
interior, formada por 4 diamantes. Recíprocamente, la intersección de dos diamantes determina
una estrella de cuatro puntas y un octógono en su interior, Figura 16 (derecha). Esta estrella de
cuatro puntas puede conseguirse por la intersección de cinco octógonos, como en la Figura 17,
donde también vemos un bonito mosaico con ese motivo, en la Alhambra de Granada (España).

Figura 16: Octógonos y diamantes

Figura 17: Octógonos y estrellas en la Alhambra de Granada

El diamante Cordobés aparece con frecuencia en el diseño de edificios, pavimentos, colchas,
etc. tanto en antiguas como en modernas culturas, [15], [18], [19], [20]. De hecho, este notable
rombo permite fácilmente construir y desarrollar mucha Geometría.

El mosaico de la Figura 18 está formado por baldosas cuadradas. Sobre la diagonal de cada
cuadrado aparece un diamante y alrededor de éste, cuatro triángulos escalenos. Cuatro
cuadrados contiguos determinan un octógono regular. En el centro podemos ver una estrella de
cuatro puntas rodeada por cuatro diamantes.

Figura 18: Diamante, octógono y estrella en un mosaico de Lisboa

La estrella de cuatro puntas puede dividirse desde su centro en cuatro cuadriláteros, Figura 18
(derecha). Si colocamos éstos en las esquinas de un cuadrado como en la Figura 19 (izquierda),
se determina una perfecta cruz de Malta de Dudeney, ([2]). La combinación de estos polígonos
cóncavos, produce de forma natural un bello mosaico formado por estrellas de cuatro puntas y
cruces Maltesas.

Figura 19: Cruces de Malta de Dudeney y estrellas

proceso, los cuatro vértices de 45º también determinan una estrella de ocho puntas, de hecho, el
polígono estrellado 8/3, Figura 19 (derecha).
Nota 2. Si el lado del cuadrado ABCD es igual a 1, el perímetro de la estrella de cuatro puntas
es igual a 4 c . Efectivamente, el triángulo isósceles (en gris) es Cordobés, y BE =1 2 , luego
la longitud de cada uno de los lados de la estrella es 1 (2c) y así, su perímetro es 4 c . En
consecuencia, la cruz de Malta de Dudeney tendrá su perímetro igual 4 × (1 2)+ 4 c = 2 + 4 c .
La Figura 20 muestra una labor de ganchillo de artesanía tradicional española. Fácilmente se
reconocen la cruz de Malta, la estrella de cuatro puntas, el octógono y la estrella formada por
cuatro diamantes.

Figura 20: La proporción Cordobesa en ganchillo

Continuando con la división del octógono de la labor de ganchillo anterior, se puede obtener
una sucesión expansiva de estrellas de cuatro puntas, diamantes y octógonos cuyos lados están
en la proporción del número de Plata.

Figura 21: Sucesión de estrellas y octógonos

El punto de partida es un octógono regular dividido en una estrella de cuatro puntas rodeada de
cuatro diamantes. El proceso es el siguiente:

1. Sobre la diagonal mayor de cada diamante, se construye un triángulo Cordobés.
2. Los cuatro triángulos trazados determinan una estrella de cuatro puntas.
3. Se dibuja un octógono regular circunscrito a esta estrella, y el proceso continúa.

En la Figura 21, el triángulo ABC tiene lados AB = BC =1 y el ángulo ÐABC = 3p 4 .
Entonces, mediante el Teorema del coseno, se obtiene fácilmente que AC2 = 2 + 2 y
AC = 2c . Por otro lado, el ángulo ÐADC = p 4 implica que ADC es un triángulo
Cordobés y de ello se deduce que: AD = AC× c = 2c2 = q .

Ahora nos ocuparemos de los trapecios. En la Figura 3, rodeando al triángulo Cordobés q, q, d
tenemos un triángulo isósceles de lados 1, 1, d y dos trapecios isósceles con tres lados 1, su lado
mayor igual a q y sus ángulos 3p/4 y p/4. Esta nueva forma de Plata también debería ser
considerada como una forma Cordobesa. El motivo es que cada trapecio se puede dividir en tres
triángulos Cordobeses de lados 1, 1 y 1/c (ver Figura 22) y un triángulo escaleno de lados 1, 1/c
y q-2. Los ángulos de este triángulo son p/8, 2p/8 y 5p/8, es decir, es un gnomon del triángulo
Cordobés.


Figura 22: Trapecio Cordobés de Plata
Figura 23: Un trapecio Cordobés

Pero este no es el único trapecio que merece ser llamado Cordobés, puesto que hemos
encontrado otros dos más. En efecto, si reordenamos los tres triángulos Cordobeses anteriores
como sugiere la Figura 23, obtenemos un trapecio isósceles de lados 1/c, 1, 2/c, 1, y ángulos
3p/8 y 5p/8. Esta figura es semejante al trapecio isósceles de lados 1, c, 2 y c, por tanto lo
llamaremos c-trapecio Cordobés.

Como ya hemos visto, el triángulo Cordobés ABE (Figura 24) puede construirse a partir de un
rectángulo ABCD de proporción Ö2. Por reflexión de la figura con respecto a su lado BC,
obtenemos el trapecio AA’E’E. El rectángulo AA’D’D está formado por dos cuadrados de lado
1 y dos rectángulos de Plata de lados q -1 y 1.

Figura 24: Trapecio Cordobés a partir del rectángulo raiz cuadrada de 2

3 comentarios:

  1. Es de buena educación y una obligación moral y legal citar las fuentes

    ResponderEliminar
  2. No hacen faltan fuentes cuando hay demostraciones. Esto no es historia.

    ResponderEliminar